Wie schreibt man Polynomfunktionen bei gegebenen Nullen?

Die Nullen eines Polynoms können durch Faktorisieren gefunden werden.

Die Nullen einer Polynomfunktion von x sind die Werte von x, die die Funktion zu Null machen. Zum Beispiel hat das Polynom x ^ 3 - 4x ^ 2 + 5x - 2 Nullen x = 1 und x = 2. Wenn x = 1 oder 2, ist das Polynom gleich Null. Eine Möglichkeit, die Nullen eines Polynoms zu finden, besteht darin, in seine faktorisierte Form zu schreiben. Das Polynom x ^ 3 - 4x ^ 2 + 5x - 2 kann geschrieben werden als (x - 1) (x - 1) (x - 2) oder ((x - 1) ^ 2) (x - 2). Wenn Sie sich die Faktoren ansehen, können Sie sagen, dass die Einstellung x = 1 oder x = 2 das Polynom zu Null macht. Beachten Sie, dass der Faktor x - 1 zweimal vorkommt. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, ist, dass die Multiplizität des Faktors 2 ist. Angesichts der Nullen eines Polynoms können Sie es sehr einfach schreiben - zuerst in seiner faktorisierten Form und dann in der Standardform.

Subtrahiere die erste Null von x und schließe sie in Klammern ein. Dies ist der erste Faktor. Wenn zum Beispiel ein Polynom eine Null hat, die -1 ist, ist der entsprechende Faktor x - (-1) = x + 1.

Erhebe den Faktor auf die Kraft der Vielfalt. Zum Beispiel, wenn die Null -1 in dem Beispiel eine Multiplizität von zwei hat, schreibe den Faktor als (x + 1) ^ 2.

Wiederholen Sie die Schritte 1 und 2 mit den anderen Nullen und f√ľgen Sie sie als weitere Faktoren hinzu. Wenn zum Beispiel das Beispielpolynom zwei weitere Nullen, -2 und 3, beide mit der Multiplizit√§t 1, hat, m√ľssen zwei weitere Faktoren - (x + 2) und (x - 3) - zu dem Polynom addiert werden. Die endg√ľltige Form des Polynoms ist dann ((x + 1) ^ 2) (x + 2) (x - 3).

Multiplizieren Sie alle Faktoren mit der FOIL-Methode (First Outer Inner Last), um das Polynom in der Standardform zu erhalten. Im Beispiel multiplizieren Sie zuerst (x + 2) (x - 3), um x ^ 2 + 2x - 3x - 6 = x ^ 2 - x - 6 zu erhalten. Dann multiplizieren Sie dies mit einem anderen Faktor (x + 1), um ( x ^ 2 - x - 6) (x + 1) = x ^ 3 + x ^ 2 - x ^ 2 - x - 6x - 6 = x ^ 3 - 7x - 6. Schließlich multiplizieren Sie dies mit dem letzten Faktor (x + 1) um zu erhalten (x ^ 3 - 7x - 6) (x + 1) = x ^ 4 + x ^ 3 -7x ^ 2 - 7x - 6x - 6 = x ^ 4 + x ^ 3 - 7x ^ 2 - 13x - 6. Dies ist die Standardform des Polynoms.

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