So finden Sie den Winkel zwischen den Diagonalen eines Cubes

Das Finden des Winkels zwischen zwei Diagonalen eines W├╝rfels erfordert eine gewisse Trigonometrie.

Wenn Sie ein Quadrat nehmen und zwei Diagonalen zeichnen w├╝rden, w├╝rden sie sich in der Mitte kreuzen und vier rechtwinklige Dreiecke bilden. Die beiden Diagonalen kreuzen sich um 90 Grad. Sie k├Ânnten intuitiv erraten, dass zwei Diagonalen eines W├╝rfels, die jeweils von einer Ecke des W├╝rfels zu seiner gegen├╝berliegenden Ecke verlaufen und sich in der Mitte kreuzen, auch im rechten Winkel kreuzen w├╝rden. Du w├╝rdest dich irren. Die Bestimmung des Winkels, mit dem zwei Diagonalen in einem W├╝rfel einander kreuzen, ist etwas komplizierter als es auf den ersten Blick erscheinen mag, aber es ist eine gute ├ťbung, um die Prinzipien der Geometrie und Trigonometrie zu verstehen.

Definieren Sie die L├Ąnge einer Kante als eine Einheit. Per Definition hat jede Kante des W├╝rfels eine identische L├Ąnge von einer Einheit.

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die L├Ąnge einer Diagonale zu bestimmen, die von einer Ecke zur gegen├╝berliegenden Ecke derselben Fl├Ąche verl├Ąuft. Nennen Sie das zur Verdeutlichung eine "kurze Diagonale". Jede Seite des gebildeten rechten Dreiecks ist eine Einheit, also muss die Diagonale gleich 2 sein.

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die L├Ąnge einer Diagonale zu bestimmen, die von einer Ecke zur gegen├╝berliegenden Ecke der gegen├╝berliegenden Seite verl├Ąuft. Nennen Sie das eine "lange Diagonale". Sie haben ein rechtes Dreieck mit einer Seite gleich 1 Einheit und einer Seite gleich einer "kurzen Diagonale", 2 Einheiten. Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten, also muss die Hypotenuse ÔłÜ3 sein. Jede Diagonale, die von einer Ecke des W├╝rfels zur gegen├╝berliegenden Ecke verl├Ąuft, ist ÔłÜ3 Einheiten lang.

Zeichnen Sie ein Rechteck, um zwei lange Diagonalen darzustellen, die sich in der Mitte des W├╝rfels kreuzen. Sie m├Âchten den Winkel ihrer Kreuzung finden. Dieses Rechteck ist 1 St├╝ck gro├č und 2 Einheiten breit. Die langen Diagonalen teilen sich in der Mitte dieses Rechtecks ÔÇőÔÇőund bilden zwei verschiedene Arten von Dreiecken. Eines dieser Dreiecke hat eine Seite, die gleich einer Einheit ist, und die anderen beiden Seiten sind gleich ÔłÜ3 / 2 (die H├Ąlfte der L├Ąnge einer langen Diagonalen). Der andere hat auch zwei Seiten gleich ÔłÜ3 / 2, aber seine andere Seite ist gleich ÔłÜ2. Sie m├╝ssen nur eines der Dreiecke analysieren, also nehmen Sie das erste und l├Âsen Sie den unbekannten Winkel.

Verwenden Sie die trigonometrische Formel c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C, um den unbekannten Winkel dieses Dreiecks zu bestimmen. C = 1, und sowohl a als auch b sind gleich ÔłÜ3 / 2. Wenn Sie diese Werte in die Gleichung einf├╝gen, bestimmen Sie, dass der Kosinus Ihres unbekannten Winkels 1/3 ist. Unter Verwendung des inversen Kosinus von 1/3 ergibt sich ein Winkel von 70,5 Grad.

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