Die FlÀche eines beschrifteten Quadrats

Die vier Ecken eines einbeschriebenen Quadrats berĂŒhren den Kreis, der um ihn herum gezeichnet ist.

Ein typisches geometrisches Problem besteht darin, die FlÀche eines Quadrats zu bestimmen, das in einen Kreis geschrieben wird, wenn die LÀnge des Kreisdurchmessers bekannt ist. Der Durchmesser ist eine Linie durch die Mitte des Kreises, die den Kreis in zwei gleiche Teile schneidet.

Definition

Ein Quadrat ist eine vierseitige Figur, bei der alle vier Seiten gleich lang sind und alle vier Winkel 90 Grad Winkel sind. Ein eingeschriebenes Quadrat ist ein Quadrat, das in einem Kreis so gezeichnet ist, dass alle vier Ecken des Quadrats den Kreis berĂŒhren.

VorlÀufige Zeichnungen

Eine diagonale Linie, die von einer Ecke des eingeschriebenen Quadrats durch die Mitte des Kreises gezogen wird, erreicht die gegenĂŒberliegende Ecke des Quadrats. Diese Linie bildet den Durchmesser des Kreises und teilt gleichzeitig das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke - Dreiecke, in denen einer der drei Winkel 90 Grad ist.

Lösung

In jedem dieser rechtwinkligen Dreiecke ist die Summe der Quadrate der zwei gleich kĂŒrzeren Seiten (der Seiten des Quadrats) gleich dem Quadrat der lĂ€ngsten Seite (dem Durchmesser des Kreises), dessen Wert eine bekannte GrĂ¶ĂŸe ist. Diese Formel zeigt, wenn sie richtig gelöst ist, dass eine Seite des Quadrats gleich dem halben Durchmesser des Kreises (dh seines Radius) mal der Quadratwurzel von 2 ist. Da die FlĂ€che des Quadrats eine seiner Seiten multipliziert mit sich selbst ist, FlĂ€che entspricht dem Quadrat des Kreisradius mal 2. Da der Radius des Kreises eine bekannte GrĂ¶ĂŸe ist, liefert dies den numerischen Wert fĂŒr die FlĂ€che des eingeschriebenen Quadrats.

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